Question

1．我們把離心率相等的橢圓稱之為“同基橢圓”，已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{1}}+{y}^{2}=1（{m}_{1}＞1）$C₂：y²+$\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{2}}$=1（0＜m₂＜1）為：“同基橢圓”，直線l：y=a（0＜a＜1）與曲線C₁從左至右依次交于A，D兩點(diǎn)，與曲線C₂從左至右交于B，C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|AC|=$\frac{5}{4}$時，則m₁=（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． 1.5
• D． 不存在

Answer 1

分析 運(yùn)用離心率公式和新定義列出方程，將直線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$分別代入C₁，C₂方程，求得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式和|AC|的長度列出方程，解方程可得m₁的值．

解答 解：由題意得C₁，C₂的離心率相等，則$\frac{\sqrt{（{m}_{1}）^{2}-1}}{{m}_{1}}=\sqrt{1-（{m}_{2}）^{2}}$，
化簡得，m₁m₂=1，①
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{1}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，${x}^{2}=\frac{（{m}_{1}）^{2}}{4}$，
由題意得A的坐標(biāo)為（$-\frac{{m}_{1}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
同理可得，C的坐標(biāo)為（$\frac{{m}_{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵|AC|=$\frac{5}{4}$，∴$\frac{{m}_{2}}{2}+\frac{{m}_{1}}{2}=\frac{5}{4}$，②
由①②得，m₁=2或$\frac{1}{2}$，
∵m₁＞1，∴m₁=2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，橢圓的方程和離心率，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．