Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）和向量$\overrightarrow$=（1，f（x）），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，若有f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理、兩角和的正弦公式列出方程并化簡，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）由（1）化簡f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由題意和平方關(guān)系求出cosB的值，分三種情況，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求出sinC的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）、$\overrightarrow$=（1，f（x）），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴$\frac{1}{2}$f（x）-（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=0，
化簡得f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，
當$sin（x+\frac{π}{3}）$=1時，f（x）取到最大值是2；
（2）由（1）得，f（A-$\frac{π}{3}$）=2sinA=$\sqrt{3}$，則sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∵sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，∴cosB=±$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=±$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
當A=$\frac{π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$時，
sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$；
當A=$\frac{2π}{3}$、cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$時，
sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$；
當A=$\frac{π}{3}$、cosB=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$時，
sinC=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$-\frac{\sqrt{21}}{14}$＜0，舍去，
綜上，sinC的值是$\frac{3\sqrt{21}}{14}$或$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題考查了向量共線定理的坐標運算，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式等，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想，化簡、計算能力．