Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為3，則a的值為$-\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象求根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知的f′（0）=0，求得b的值，利用定積分的幾何意義即可求得a的值．

解答 解：f′（x）=-3x²+2ax+b，
f（x）與x軸在原點相切，
f′（0）=0，即b=0，
∴f（x）=-x³+ax²，
令f（x）=-x³+ax²=0，
解得x=0或x=a，
由題意可知：${∫}_{a}^{0}$（-x³+ax²）dx=3，
∴（-$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{3}$ax³）${丨}_{a}^{0}$=3，
∴$\frac{1}{12}$a⁴=3，解得：a=$±\sqrt{6}$
由圖象可知a＜0，
∴a=$-\sqrt{6}$，
故答案為：$-\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義的應用以及利用積分求陰影部分的面積的計算，要求熟練掌握導數(shù)的應用，屬于基礎題．