Question

關(guān)于函數(shù)y=f（x）有下列四個(gè)敘述：
①對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+2π）=f（x）成立；
②函數(shù)y=f（x）沒有最大值；
③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上是單調(diào)遞增的；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）指出函數(shù)y=xsinx符合上述哪幾個(gè)敘述；
（2）問是否存在符合上述四個(gè)敘述的函數(shù)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）分析函數(shù)y=xsinx的周期性，最值，單調(diào)性，對(duì)稱性，可得函數(shù)y=xsinx符合敘述②③；
（2）分析正切函數(shù)y=tanx的周期性，最值，單調(diào)性，對(duì)稱性，可得正切函數(shù)y=tanx符合上述四個(gè)敘述．

解答： 解：（1）函數(shù)y=xsinx不是周期函數(shù)，故不滿足①，
函數(shù)y=xsinx沒有最大值，故滿足②，
函數(shù)y′=sinx+xcosx，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，y′＞0，故函數(shù)y=xsinx在區(qū)間（0，

π

2

）上是單調(diào)遞增，故滿足③，
函數(shù)y=xsinx沒有對(duì)稱中心，其對(duì)稱軸為y軸，故不滿足④，
即函數(shù)y=xsinx符合敘述②③；
（2）正切函數(shù)y=tanx，滿足上述四個(gè)敘述，
∵2π是正切函數(shù)y=tanx的一個(gè)周期，故f（x+2π）=f（x）恒成立，滿足①，
正切函數(shù)y=tanx沒有最大值，滿足②，
正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間（0，

π

2

）上是單調(diào)遞增的，滿足③，
正切函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的周期性，最值，單調(diào)性，對(duì)稱性，難度中檔．