Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）．討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x），f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：f（x）=x-

1

x

-alnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜-2時(shí)，△＞0，g（x）=0的兩根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
③當(dāng)a＞2時(shí)，△＞0，g（x）=0的兩根為x_1⁼

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）分別在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，對(duì)方程f'（x）=0有無(wú)實(shí)根，有實(shí)根時(shí)，根是否在定義域內(nèi)和根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法．