Question

已知函數(shù)f（x）=x（a+blnx）在（1，f（1））處的切線方程為2x-y-1=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x+1）＞tx恒成立，求整數(shù)t的最大值；
（Ⅲ）試證明：（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）＞e^2n-3（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法，將f（x+1）＞tx恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)即可求整數(shù)t的最大值；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x（a+blnx），
∴f′（x）=blnx+a+b，
∵直線2x-y-1=0的斜率為2，且過點(diǎn)（1，1），
則

f(1)=a=1 f′(1)=a+b=2

，解得a=1，b=1．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，
由f（x+1）＞tx，得到t＜

f(x+1)

x

=

(x+1)[1+ln(1+x)]

x

在（0，+∞）上恒成立，
取h（x）=

f(x+1)

x

=

(x+1)[1+ln(1+x)]

x

，
則h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

再取g（x）=x-1-ln（x+1），則g′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，
故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實(shí)數(shù)根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）時(shí)，g（x）＜0，x∈（a，+∞）時(shí)，g（x）＞0
∴h（x）_min=

a+1

a

[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，t≤3，
故整數(shù)t的最大值是3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

，(x＞0)，
則ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，
令x=2ⁿ 則ln（1+2ⁿ ）＞2-

3

2n

，
又ln（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）=ln（1+2）+ln（1+2²）+ln（1+2³）+…+ln（1+2ⁿ）
＞2n-3（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）=2n-3（1-

1

2n

）＞2n-3，
即（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）＞e^2n-3（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的證明，綜合性較強(qiáng)，難度較大．