在四棱錐中,側(cè)面底面,,底面是直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)設(shè)為側(cè)棱上一點,,試確定的值,使得二面角為.
(Ⅰ)以為原點建立空間直角坐標(biāo)系則
,,所以,, 又由平面,可得,所以平面.(Ⅱ)
解析試題分析:解法一:
(Ⅰ)平面底面,,所以平面,………1分
所以, .……2分
如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.
則 3分
,,
所以,, 4分
又由平面,可得,所以平面. 6分
(Ⅱ)平面的法向量為, 7分
,,
所以, 8分
設(shè)平面的法向量為,,,
由,,得
所以,, 9分
所以, 10分
所以, 11分
注意到,得. 12分
法二:(Ⅰ)∵面PCD⊥底面ABCD,面PCD∩底面ABCD=CD,PD面PCD,且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD,………1分 又BC面ABCD,∴BC⊥PD ①…. .…..……2分
取CD中點E,連結(jié)BE,則BE⊥CD,且BE=1
在Rt△ABD中,,在Rt△BCE中,BC= 4分
∵, ∴BC⊥BD ②5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD. 6分
(Ⅱ)過Q作QF//BC交PB于F,過F作FG⊥BD于G,連結(jié) GQ.
∵BC⊥面PBD,QF//BC
∴QF⊥面PBD,∴FG為QG在面PBD上的射影,
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角;由題意,∠FGQ="45°" 8分
設(shè)PQ=x,易知
∵FQ//BC,∴
∵FG//PD∴ 10分
在Rt△FGQ中,∠FGQ=45°
∴FQ=FG,即 ∴… 11分
∵ ∴ ∴… 12分
考點:線面垂直及二面角
點評:本題中結(jié)合已知條件可知利用空間向量法求解較簡單,要證明線面垂直只需證明直線的方向向量與平面的法向量平行,二面角大小為只需滿足兩半平面的法向量夾角為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖平面SAC⊥平面ACB,ΔSAC是邊長為4的等邊三角形,ΔACB為直角三角形,∠ACB=90°,BC=,求二面角S-AB-C的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,空間四邊形的對棱、成的角,且,平行于與的截面分別交、、、于、、、.
(1)求證:四邊形為平行四邊形;
(2)在的何處時截面的面積最大?最大面積是多少?
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