Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1

1 an2 +4

=1，記S_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²，若S_2n-1-S_n≤

m

30

對任意n∈N^*恒成立，則正整數(shù)m的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出{

1

an2

}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，從而a_n²=

1

4n-3

，并推導(dǎo)出數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，由此能求出m的最小值為10．

解答： 解：∵a_n+1

1 an2 +4

=1，∴a_n+1²（

1

an2

+4）=1，
∴

1

an+12

=

1

an2

+4（n∈N^*），又a₁=1，

1

a12

=1
∴{

1

an2

}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，∴a_n²=

1

4n-3

∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

30

，∴m≥

28

3

，
又∵m是正整數(shù)，∴m的最小值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式和單調(diào)性的靈活運(yùn)用．