Question

14．已知a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）解關(guān)于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）證明△ABC為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞f（1）可化為：ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；對(duì)a值進(jìn)行分類討論，可得不等式的解集；
（2）由函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可得AB=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$，利用基本不等式可得AB的最小值；
（3）利用向量法，證明出$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，可得：△ABC為直角三角形．

解答 解：（1）不等式f（x）＞f（1）可化為：ax²-a²x-$\frac{1}{a}$＞a-a²（a＞0），
即ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；
解ax²-a²x+a²-a=0得x=1，或x=a-1，
∴a≥2時(shí)，不等式的解集為（-∞，1）∪（a-1，+∞）；
a＜2時(shí)，不等式的解集為（-∞，a-1）∪（1，+∞）；
（2）∵函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴AB=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)${a}^{2}=\frac{4}{{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
故AB的最小值為2；
證明：（3）∵函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
故A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}±\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，0），
∵函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與y軸交于C點(diǎn)．
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{a}$），
故$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，-$\frac{1}{a}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，-$\frac{1}{a}$），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$）×（-$\frac{{a}^{2}+\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$）+（-$\frac{1}{a}$）²=0，
故$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式的解法，二次函數(shù)，基本不等式，判斷三角形的形狀，綜合性強(qiáng)，屬于難題．