Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₄=16．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （I）通過(guò)聯(lián)立a₃=5與S₄=16可知首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）變形可知b_n=$\frac{1}{3}$•9ⁿ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a₃=5，S₄=16，
∴a₁+2d=5，4a₁+6d=16，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=${3}^{{a}_{n}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}$•9ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{3}$（9+9²+…+9ⁿ）
=$\frac{1}{3}$•$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$
=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．