Question

18．已知圓O：x²+y²=1，圓M：（x-a）²+（y-a+4）²=1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用兩點間的距離關系求出OP的距離，再由題意得到關于a的不等式求得答案．

解答 解：如圖
圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，
則∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，
又圓M的半徑等于1，圓心坐標M（a，a-4）
∴|PO|_min=|MO|-1，|PO|_max=|MO|+1，
∵$|MO|=\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$，
∴由$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}-1≤2≤\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}+1$，解得：2$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤a≤2+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用數形結合將條件進行等價轉化是解決本題的關鍵，是中檔題．