Question

8．已知：$x=\frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$，則$\sqrt{2}$可用含x的有理系數(shù)三次多項式來表示為：$\sqrt{2}$=$-\frac{1}{6}{x^3}+\frac{11}{6}x$．

Answer 1

分析 首先將x分母有理化可得：x=$\sqrt{5}-\sqrt{2}$，又由 $\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（ $\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$），然后將其變形求解即可．

解答 解：∵$x=\frac{3}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（ $\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{3}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（2+$\sqrt{10}$），
=$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）（4+2 $\sqrt{10}$），
=-$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）[（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）²-11]，
=-$\frac{1}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$）³+$\frac{11}{6}$（ $\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$），
=-$\frac{1}{6}$x³+$\frac{11}{6}$x．
故答案為：$-\frac{1}{6}{x^3}+\frac{11}{6}x$．

點評 此題考查了分母有理化的知識與平方差公式的應用．題目難度較大，解題是要熟練應用公式與法則．