Question

7．甲、乙兩支藍(lán)球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽就此結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為二分之一．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門票收入50萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門票收入比上一場(chǎng)增加10萬(wàn)元．
（Ⅰ）求總決賽中獲得門票總收入恰好為350萬(wàn)元的概率；
（Ⅱ）設(shè)總決賽中獲得的門票總收入為X，求X的均值E（X）．

Answer 1

分析 （I）每場(chǎng)比賽獲得的門票收入組成首項(xiàng)為50，公差為10的等差數(shù)列，從而得到此決賽共比賽了5場(chǎng)．則前4場(chǎng)比賽的比分必為$\frac{1}{3}$，且第5場(chǎng)比賽為領(lǐng)先的球隊(duì)獲勝，由此能求出總決賽中獲得門票總收入恰好為350萬(wàn)元的概率．
（II）隨機(jī)變量X可取的值為260，350，450，560，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列、均值．

解答 解：（I）依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門票收入組成首項(xiàng)為50，公差為10的等差數(shù)列．
設(shè)此數(shù)列為{a_n}，則由題意知a_n=50+（n-1）=10n+40，
∴${S_n}=\frac{n（10n+90）}{2}=350$，
解得n=-14（舍去）或n=5，所以此決賽共比賽了5場(chǎng)．
則前4場(chǎng)比賽的比分必為$\frac{1}{3}$，且第5場(chǎng)比賽為領(lǐng)先的球隊(duì)獲勝，其概率為$C_4^1{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{1}{4}$．
∴總決賽中獲得門票總收入恰好為350萬(wàn)元的概率為$\frac{1}{4}$．
（II）隨機(jī)變量X可取的值為S₄，S₅，S₆，S₇，
即260，350，450，560，
又$P（X=260）=2•{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{1}{8}，P（X=350）=C_4^1{（\frac{1}{2}）^4}=\frac{1}{4}$，
$P（X=450）=C_5^2{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{5}{16}，P（X=560）=C_6^3{（\frac{1}{2}）^6}=\frac{5}{16}$，
所以，X的分布列為

X	260	350	450	560
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

所以X的均值為E（X）=435.625萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．