Question

16．已知ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． y=g（x）是奇函數(shù)
• B． y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱(chēng)
• C． y=g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)
• D． y=g（x）的周期為π

Answer 1

分析 根據(jù)x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，得到函數(shù)的周期，求出ω=1，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系求出g（x），結(jié)合函數(shù)奇偶性，對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，
∴若x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，
則函數(shù)的周期T=2×（$\frac{7π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，則ω=1，
即f（x）=cos（x+φ），
①若x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得極大值，則f（$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
則$\frac{π}{6}$+φ=2kπ，即φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，當(dāng)k=0時(shí)，φ=-$\frac{π}{6}$，此時(shí)f（x）=cos（x-$\frac{π}{6}$），
將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
即g（x）=）=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cosx，
此時(shí)函數(shù)g（x）是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，
g（-$\frac{π}{2}$）=cos（-$\frac{π}{2}$）=0，即函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱(chēng)，故B正確，
g（$\frac{π}{2}$）=cos（$\frac{π}{2}$）=0，即函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于關(guān)于直線(xiàn)x=$\frac{π}{2}$不對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤，
y=g（x）的周期為2π，故D錯(cuò)誤，
②若x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得極小值，則f（$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=cos（$\frac{π}{6}$+φ）=-1，
則$\frac{π}{6}$+φ=2kπ-π，即φ=2kπ-$\frac{7π}{6}$，當(dāng)k=1時(shí)，φ=$\frac{5π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴此時(shí)φ不存在．
綜上故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出ω 和φ的值，以及根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系求出g（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查三角函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，周期的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．