Question

7．已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，長(zhǎng)方體的另一條棱長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$，頂點(diǎn)A、B、C、D在半球的底面內(nèi)，頂點(diǎn)A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，則此半球的體積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• D． $\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再疊合一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體得到一個(gè)棱長(zhǎng)為1、1、1的正方體，它內(nèi)接于球，求出球的直徑，即可求出半球的體積．

解答 解：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再疊合一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體得到一個(gè)棱長(zhǎng)為1、1、1的正方體，它內(nèi)接于球，則球的直徑2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$，R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則半球的體積為$V=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 試題要求考生把半球與長(zhǎng)方體的外接和內(nèi)切問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球與正方體的接切問(wèn)題，要求考生能根據(jù)條件作出正確的截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，能正確分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，這些都是立體幾何教學(xué)的能力要求．