Question

19．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=4，則此三棱柱外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{13}{3}π$
• B． $\frac{16}{3}π$
• C． $\frac{42}{3}π$
• D． $\frac{64}{3}π$

Answer 1

分析 由題意推出三棱柱上下底面中心連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為2，高為4，
由題意可得：三棱柱上下底面中心連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，表面積為：4πr²．
球心到底面的距離為2，
底面中心到底面三角形的頂點的距離為：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以球的半徑為r=$\sqrt{4+\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
外接球的表面積為：4πr²=$\frac{64}{3}$π
故選：D．

點評 本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中心連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數(shù)學題目的前提．