Question

16．已知關于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）
（1）若不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若不等式的解集為{x|x≠$\frac{1}{k}$}，求k的值；
（3）若不等式的解集為空集，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據不等式kx²-2x+6k＜0的解集，利用根與系數的關系，求出k的值；
（2）根據不等式的解集，利用判別式求出k的值；
（3）根據不等式的解集為空集，滿足$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，求出k的取值范圍即可．

解答 解：（1）關于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0），
當不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-2}時，
對應方程kx²-2x+6k=0（k≠0）的實數根為-3和-2，
由根與系數的關系，得；
-3-2=$\frac{2}{k}$，解得k=-$\frac{2}{5}$；
（2）當不等式的解集為{x|x≠$\frac{1}{k}$}時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{4-2{4k}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）當不等式的解集為空集時，應滿足$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{4-2{4k}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
解得k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴k的取值范圍是k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了二次函數與一元二次方程的應用問題，是基礎題目．