Question

10．已知關(guān)于x的不等式|x-2|-|x+3|≥|m+1|有解，記實(shí)數(shù)m的最大值為M．
（1）求M的值；
（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=M，求證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$≥1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
（2）利用1的代換，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）由絕對(duì)值不等式得|x-2|-|x+3|≥≤|x-2-（x+3）|=5，
若不等式|x-2|-|x+3|≥|m+1|有解，
則滿足|m+1|≤5，解得-6≤m≤4．
∴M=4．
（2）由（1）知正數(shù)a，b，c滿足足a+2b+c=4，即$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）]=1
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$）=$\frac{1}{4}$（1+1+$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{a+b}{b+c}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{b+c}{a+b}•\frac{a+b}{b+c}}$）≥$\frac{1}{4}$×4=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{b+c}{a+b}$=$\frac{a+b}{b+c}$即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2時(shí)，取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$≥1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解和應(yīng)用，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵．