Question

在平面直角坐系xOy中，已知直線y=

3

被圓C₁：x²+y²+8x+F=0截得弦長為2．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)P是y軸上的動點，PA，PB分別切圓C₁于A，B兩點，求動弦AB中點的軌跡方程；
（3）設(shè)圓C₁和x軸相交于C，D兩點，點Q為圓C₁上不同于C，D的任意一點，直線QC，QD交y軸于M，N兩點，當點Q變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）將y=

3

代入圓C₁：x²+y²+8x+F=0，得到二次方程，運用韋達定理，再由弦長公式，即可得到F，進而求出圓的方程；
（2）可設(shè)P（0，t），把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和半徑，求出以PC₁為直徑的圓的方程，將兩圓方程相減，即可得到交線的方程，再由PC₁的方程，消去參數(shù)t，即可得到軌跡方程；
（3）先令圓方程中y=0分別求出點C和點D的坐標，可設(shè)出點Q的坐標，分別表示出直線QC和QD的斜率，然后寫出直線QC和QD的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標，因為MN為圓C₂的直徑，根據(jù)中點坐標公式即可求出圓心的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為

1

2

MN，寫出圓C₂的方程，化簡后，令y=0求出圓C₂過一定點，再利用兩點間的距離公式判斷出此點在圓C₁的內(nèi)部，得證．

解答： 解：（1）將y=

3

代入圓C₁：x²+y²+8x+F=0，得
x²+8x+3+F=0，則x₁+x₂=-8，x₁x₂=3+F，
則弦長為

(-8)2-4(3+F)

=2，解得F=12．
即圓C₁的方程為：x²+y²+8x+12=0；
（2）連接PC₁，則PC₁⊥AB，垂足E即為AB的中點，
可設(shè)P（0，t），則弦AB可看作是圓C₁和以PC₁為直徑的圓的交線，
以PC₁為直徑的圓的方程為：x（x+4）+y（y-t）=0，
而圓C₁的方程為：x²+y²+8x+12=0，兩圓方程相減得，AB的方程為：4x+ty+12=0，
又PC₁的方程為：tx-4y+4t=0，聯(lián)立兩直線方程，消去t，
即可得到動弦AB中點的軌跡方程為：x²+y²+7x+12=0；
（3）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則C（-6，0），D（-2，0）
設(shè)Q（m，n）（n≠0），則（m+4）²+n²=4，得到（m+4）²-4=-n²①
k_QC=

n

m+6

，則QC：y=

n

m+6

（x+6），即有M（0，

6n

m+6

），
同理QD：y=

n

m+2

（x+2），即有N（0，

2n

m+2

），
則圓C₂：x²+（y-

6n

m+6

）（y-

2n

n+2

）=0，
將①代入化簡得，x²+y²-（

6n

m+6

+

2n

m+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

，
得點R（-2

3

，0），
由R到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=4-2

3

＜2，則點R在圓C₁內(nèi)，
所以當點Q變化時，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點R（-2

3

，0）．

點評：本題考查學生靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，會根據(jù)直徑的兩個端點的坐標求出圓的方程以及掌握點與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道比較難的題．