Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[0，2π]上的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+）的周期等于T=$\frac{2π}{ω}$，可得結論．
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合．
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間求得求出f（x）的增區(qū)間，再結合x∈[0，2π]，進一步確定f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin2x的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
（Ⅱ）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)f（x）的最大值為1，f（x）取最大值時x的集合為{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z}．
（Ⅲ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈z．
再結合x∈[0，2π]，可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[0 $\frac{π}{4}$，]、[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]、[$\frac{7π}{4}$，2π]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的值域以及單調性，屬于中檔題．