Question

18．已知O為△ABC的外心，AB=2，AC=4，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則x+y=$\frac{31}{32}$．

Answer 1

分析 通過建立直角坐標(biāo)系，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、外心的性質(zhì)可得外心O的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其相等即可得出．

解答 解：如圖，以A為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），C（4，O），
∵cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，∴B （$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線m：x=2上，又在AB的中垂線n上，
∵k_AB=$2\sqrt{2}$，AB的中點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴得到直線AC的垂直平分線n的斜率k_n=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$，
其方程為：$y-\frac{2\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{4}（x-\frac{1}{3}）$，化簡得$y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
將x=2代入上述方程可得：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴外心O（2，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴（2，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=x（$\frac{2}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+y（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{2}{3}x+4y}\\{\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{16}}\\{y=\frac{15}{32}}\end{array}\right.$．
∴x+y=$\frac{21}{32}$．
故答案為：$\frac{21}{32}$．

點(diǎn)評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、外心的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其相等、平面向量基本定理，屬于中檔題．