Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x∈[-8，-4）}\\{-9-x，x∈[-4，1）}\\{x-\frac{8}{x}-3，x∈[1，8]}\end{array}\right.$．
（1）求f（x）的值域
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax+5，x∈[-8，8]，若對任意的x₁∈[-8，8]，總存在x₀∈[-8，8]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而逐段求出各段的值域，最后綜合分段討論的結(jié)果，可得f（x）的值域A；
（2）求出函數(shù)g（x）=ax+5，x∈[-8，8]的值域B，結(jié)合題意，將其化為A⊆B，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[-8，-4）時(shí)，函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$為增函數(shù)，此時(shí)f（x）∈[$-\frac{17}{2}$，-5），
當(dāng)x∈[-4，1）時(shí)，函數(shù)f（x）=-9-x為減函數(shù)，此時(shí)f（x）∈（-10，-5]，
當(dāng)x∈[1，8]時(shí)，函數(shù)f（x）=x-$\frac{8}{x}$-3為減函數(shù)，此時(shí)f（x）∈[-10，4]，
綜上f（x）的值域A=[-10，4]，
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax+5，x∈[-8，8]的值域B，
若對任意的x₁∈[-8，8]，總存在x₀∈[-8，8]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
則A⊆B，
顯然a=0時(shí)，不滿足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=ax+5，x∈[-8，8]為增函數(shù)，B=[-8a+5，8a+5]，
則$\left\{\begin{array}{l}-8a+5≤-10\\ 8a+5≥4\\ a＞0\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{15}{8}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=ax+5，x∈[-8，8]為減函數(shù)，B=[8a+5，-8a+5]，
則$\left\{\begin{array}{l}8a+5≤-10\\-8a+5≥4\\ a＜0\end{array}\right.$，解得：a≤-$\frac{15}{8}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-$\frac{15}{8}$，或a≥$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)最值得應(yīng)用．注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．對于函數(shù)的值域的求解，要注意考慮定義域的取值，再根據(jù)函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷該使用何種方法求解值域，本題選用了利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域．屬于中檔題．