Question

6．有以下四個說法：
①在△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
②在△ABC中，若∠A＞∠B，則sinA＞sinB；
③若實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，且S=x+2y，則S的取值范圍是[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]；
④若實數(shù)x，y滿足x²-xy+2y²=1，且S=x²+2y²，則S的取值范圍是[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，$\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．
其中正確的說法有②③④．（把你認為正確的都填在橫線上）

Answer 1

分析 ①利用已知條件判斷B為銳角，根據(jù)誘導公式可得cosB=sin（90°-B），則A=90°-B．或A=180°-（90°-B），從而得出此三角形的形狀．
②根據(jù)正弦定理，及三角形中大角對大邊，可判斷真假；
③利用三角換元法，求出S的范圍，可判斷真假；
④利用基本不等式，求出xy的范圍，再求出S的范圍，可判斷真假．

解答 解：①在△ABC中，若sinA=cosB，
則B為銳角，則sinA=cosB=sin（90°-B），
則A=90°-B．或A=180°-（90°-B），
則△ABC是直角三角形或鈍角三角形，故錯誤；
②在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b，則2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB，故正確；（其中R為△ABC外接圓半徑）；
③若實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則可設x=cosα，y=sinα，
則S=x+2y=cosα+2sinα=$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，故正確；
④若實數(shù)x，y滿足x²-xy+2y²=1，即x²+2y²=1+xy≥0，
則1+xy≥2$\sqrt{2}$xy，且1+xy≥-2$\sqrt{2}$xy，
則$\frac{-1}{1+2\sqrt{2}}$=$\frac{1-2\sqrt{2}}{7}$≤xy≤$\frac{1}{2\sqrt{2}-1}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$，
故S=x²+2y²=1+xy∈[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$，$\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．故正確；
故正確的說法有：②③④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角形形狀的判斷，正弦定理，基本不等式的應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．