Question

8．設f（x）=mx²+（m+4）x+3．
（1）試確定m的值，使得f（x）有兩個零點，且f（x）的兩個零點的差的絕對值最小，并求出這個最小值；
（2）若m=-1時，在[0，λ]（λ為正常數）上存在x使f（x）-a＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為二次函數，令△＞0得出m的取值范圍，根據根與系數得關系用m表示兩根的絕對值，求出新函數的最小值即可．
（2）求出f（x）在[0，λ]上的最大值f_max（x），則a＜f_max（x）．

解答 解：（1）∵f（x）有兩個零點，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{（m+4）^{2}-12m＞0}\end{array}\right.$，解得m≠0．
設f（x）的兩個零點為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{m+4}{m}$，x₁x₂=$\frac{3}{m}$．
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{m+4}{m}$）²-$\frac{12}{m}$=$\frac{16}{{m}^{2}}$-$\frac{4}{m}$+1=16（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{3}{4}$．
∴當m=8時，∴|x₁-x₂|²取得最小值$\frac{3}{4}$．∴|x₁-x₂|的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）當m=-1時，f（x）=-x²+3x+3，f（x）的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$．
①若0$＜λ＜\frac{3}{2}$，則f_max（x）=f（λ）=-λ²+3λ+3，
②若$λ≥\frac{3}{2}$，則f_max（x）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{21}{4}$．
∵在[0，λ]（λ為正常數）上存在x使f（x）-a＞0成立，∴a＜f_max（x）．
綜上，當0$＜λ＜\frac{3}{2}$時，a的取值范圍是（-∞，-λ²+3λ+3）；
當$λ≥\frac{3}{2}$時，a的取值范圍是（-∞，$\frac{21}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數的零點個數與系數的關系，二次函數的單調性與最值，屬于中檔題．