Question

16．如圖，以AB=8為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠ACB=60°，則EF=4．

Answer 1

分析 由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理，結(jié)合三角相似的判定定理可以證得，△CEF∽△CBA，則我們可以找到EF與已知長(zhǎng)度的AB邊之間的比例等于兩個(gè)相似三角形的相似比，故求出相似比是解決本題關(guān)鍵，由∠ACB=60°及AB為直徑，我們不難求出相似比代入求解即可．

解答 證明：如圖，連接AE，
∵AB為圓的直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°
又∵∠ACB=60°
∴CA=2CE
由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)易得：
∠CFE=∠CBA （由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同角的補(bǔ)角相等得到的）
又因?yàn)椤螩=∠C
∴△CEF∽△CBA
∴$\frac{EF}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{1}{2}$
又∵AB=8
∴EF=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，其中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)，當(dāng)已知中的條件可以得到一個(gè)等邊三角形、平行四邊形、直角三角形等特殊圖形，我們經(jīng)常利用這些圖形特有的性質(zhì)，得到相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行求解．