Question

4．已知圓C的圓心在直線y=2x上，并且過點A（0，1）和B（0，3）．
（1）求圓C的方程．
（2）若點P是圓C上的動點，坐標(biāo)原點為O，求直線OP的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定圓心與半徑，即可求圓C的方程．
（2）設(shè)直線OP的方程為kx-y=0，則圓心到直線的距離d=$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，即可求直線OP的斜率的取值范圍．

解答 解：（1）AB的垂直平分線方程為y=2，與直線y=2x聯(lián)立，可得圓心C（1，2），
∴圓的半徑為$\sqrt{（1-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=2．
（2）設(shè)直線OP的方程為kx-y=0，則
圓心到直線的距離d=$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，
∴k²+4k-2≥0，
∴k$≤-2-\sqrt{6}$或k≥-2+$\sqrt{6}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．