Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AB=2．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q是AD的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，通過證明AD⊥平面PBQ，證出AD⊥PB；
（2）利用等體積法，即可求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

解答 （1）證明：∵ABCD是菱形，且∠BAD=60°
∴△ABD是等邊三角形   
設(shè)Q是AD的中點(diǎn)，連接PQ，BQ，則BQ⊥AD，
∵△APD是等邊三角形
∴PQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ，
∴AD⊥PB；
（2）解：△PAB中，PA=AB=2，PB=$\sqrt{6}$，S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．