Question

9．設正實數(shù)x，y，z滿足x²-xy+4y²-z=0．則當$\frac{z}{xy}$取得最小值時，x+4y-z的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 將z=x²-xy+4y²代入$\frac{z}{xy}$，利用基本不等式化簡即可得到當$\frac{z}{xy}$取得最小值時的條件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y-z的最大值．

解答 解：∵x²-xy+4y²-z=0，
∴z=x²-xy+4y²，又x，y，z為正實數(shù)，
∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-1≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$-1=3（當且僅當x=2y時取“=”），
當且僅當$\frac{x}{y}$=$\frac{4y}{x}$，即x=2y（y＞0）時取等號，
此時x+4y-z=2y+4y-（x²-xy+4y²）=6y-6y²
=-6（y-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$．
∴x+4y-z的最大值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$

點評 本題考查基本不等式，根據(jù)條件求得$\frac{z}{xy}$取得最小值時x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．