Question

1．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
求證：（1）PA∥平面BDE 
（2）若四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，求BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OE，證明OE∥PA，即可證明PA∥平面BDE 
（2）若四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，取OC的中點(diǎn)F，連接EF，∠EBF是BE與平面ABCD所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連接OE，∵E是PC的中點(diǎn)．O是AC的中點(diǎn)．
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE 
PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）若四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，
∴各側(cè)面都是邊長(zhǎng)為a的等腰三角形，
∵PO⊥底面ABCD，
∴平面PAC⊥底面ABCD，
取OC的中點(diǎn)F，連接EF，
則EF∥PO，
且EF⊥底面ABCD，
則BF是BE在平面ABCD上的射影，
則∠EBF是BE與平面ABCD所成的角，
∵OC=OB=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
則EF=$\frac{1}{2}OP=\frac{\sqrt{2}a}{4}$，BE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$
則sin∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{4}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面平行的判定，以及直線和平面所成角的求解，利用相應(yīng)的判定定理和定義是解決本題的關(guān)鍵．