Question

9．已知拋物線y²=4x，點Q（a，0）是x軸上的一定點，過點Q作直線l與拋物線相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若a=-1，點F為拋物線的焦點，且|AF|=2|BF|，求直線l的方程；
（Ⅱ）若a＞0，試問在x軸上是否存在定點P，使得當直線l變動時，總有∠OPA=∠OPB（O為坐標原點）？若存在，求出點P的坐標，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過A、B作準線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，求出B的坐標，即可求直線l的方程．
（Ⅱ）將x=ty+a代入C得方程整理得y²-4ty-4a=0，當b=-a時，有k₁+k₂=0，則直線PA的傾斜角與直線PB的傾斜角互補，故∠OPA=∠OPB．

解答 解：（Ⅰ）過A、B作準線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，
由|AF|=2|BF|可得|AA₁|=2|BB₁|，則點B為QA的中點，
連接OB，故2|OB|=|FA|．
∴|OB|=|FB|，B點的橫坐標為$\frac{1}{2}$，代拋物線的方程中得B的縱坐標為±$\sqrt{2}$，
由$B（\frac{1}{2}，\;±\sqrt{2}）$和P（-1，0）知直線的方程為$y=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}（x+1）$
此時該直線與拋物線有兩個交點，符合題意．-------------（6分）
（Ⅱ）存在符合題意的點P（-a，0），證明如下：
設直線l的方程為x=ty+a，
設P（b，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
將x=ty+a代入C得方程整理得y²-4ty-4a=0．
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a．
∴${k_1}+{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-b}}+\frac{y_2}{{{x_2}-b}}$=$\frac{{2t{y_1}{y_2}+（a-b）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-b）（{x_2}-b）}}$=$\frac{-4t（a+b）}{{（{x_1}-b）（{x_2}-b）}}$．
當b=-a時，有k₁+k₂=0，則直線PA的傾斜角與直線PB的傾斜角互補，
故∠OPA=∠OPB，所以P（-a，0）符合題意．-------------（12分）

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、中點坐標公式、斜率計算公式，著重考查曲線方程的聯(lián)立，韋達定理的使用，突出考查化歸思想與方程思想，屬于難題．