Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=an²+bn．
（1）若a≠0，請用反證法證明：數(shù)列{S_n}不可能是等差數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{a_n}是否為等比數(shù)列？說明理由．

Answer 1

分析 （1）假設數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列，求出S_n-S_n-1=（2n-1）a+b，由此能證明數(shù)列{S_n}不可能是等差數(shù)列．
（1）推導出a_n=（2n-1）a+b，從而得到數(shù)列{a_n}不為等比數(shù)列．

解答 證明：（1）假設數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列，
∵a≠0，
∴S_n-S_n-1=（an²+bn）-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b=（2n-1）a+b為常數(shù)，
由a≠0，得2n-1是常數(shù)，
與n∈N^*相矛盾，故假設不成立，
∴數(shù)列{S_n}不可能是等差數(shù)列．
解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=an²+bn，
∴a₁=a+b，
a_n=S_n-S_n-1=（an²+bn）-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b=（2n-1）a+b，
n=1時，成立，
∴a_n=（2n-1）a+b，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{（2n-1）a+b}{（2n-3）a+b}$不是常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}不為等比數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明和等比數(shù)列的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．