Question

9．在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；在四邊形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；在五邊形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．
（1）根據(jù)以上結(jié)論猜想在n邊形A₁A₂A₃…A_n中，有怎樣的不等式成立．（不要求證明）
（2）數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1-a_n≤2，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，試用（1）猜想的結(jié)論，證明不等式S_n≤（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）（n≥3）．

Answer 1

分析 （1）觀察分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，即可得到答案．
（2）利用疊加法，可得S_n≤n²，根據(jù)（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）≥（n-2）π•$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$=n²，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；
在四邊形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；
在五邊形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立
…
歸納可得：在n邊形A₁A₂A₃…A_n中，$\frac{1}{{A}_{1}}+\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$．
證明：（2）∵數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1-a_n≤2，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，
∴疊加可得a_n-1≤2（n-1），
∴a_n≤2n-1，
∴S_n≤n²，
∵（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）≥（n-2）π•$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$=n²，
∴．S_n≤（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）（n≥3）．

點評 本題考查歸納推理，考查不等式的證明，其中根據(jù)已知分析分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．