Question

16．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判斷數(shù)列{c_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=117，試求數(shù)列{a_n}的公差d及通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過已知條件及平方差公式計算即可．
（2）先求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和求出首項，再根據(jù)通項公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=d，
又∵c_n=a_n²-a_n+1²=-（a²_n+1-a_n²）=-（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∴c_n+1-c_n=-（a_n+2+a_n+1）（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
=-d[（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）]
=-d[（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）]
=-2d²，
故數(shù)列{c_n}是以-2d²為公差的等差數(shù)列；
（2））∵a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=117，
∴兩式相減：13d=-13
∴d=-1，
∴13a₁+$\frac{13×12}{2}$×2d=130，
∴a₁=25
∴a_n=a₁+（n-1）d=25+（n-1）×（-1）=26-n

點評 本題考查等差數(shù)列的判定，等差數(shù)列的前n項和公式，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題