Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，三棱柱的高為$\sqrt{3}$，若P是△A₁B₁C₁中心，且三棱柱的體積為$\frac{9}{4}$，則PA與平面ABC所成的角大小是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)底面正△ABC的邊長為a，過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點O為底面△ABC的中心，故∠PAO即為PA與平面ABC所成角，由此能求出PA與平面ABC所成的角．

解答 解：由題意設(shè)底面正△ABC的邊長為a，過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，
則點O為底面△ABC的中心，故∠PAO即為PA與平面ABC所成角，
∵|OA|=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，|OP|=$\sqrt{3}$，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中體積為$\frac{9}{4}$，
∴由直棱柱體積公式得V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{×a}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$，
∴$∠PAO=\frac{π}{3}$，
∴PA與平面ABC所成的角為$\frac{π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考是線面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．