Question

6．如圖，點(diǎn)D，E分別是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AB，B₁C₁的中點(diǎn)，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{DE}$；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量，利用$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{DE}$的關(guān)系，證明：DE∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）可取BC的中點(diǎn)F，并連接DF，EF，從而可以得到$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow，\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{c}$，這樣即可得出$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow+\overrightarrow{c}$；
（2）根據(jù)法向量的概念，可以得到$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{c}$，從而得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{c}=0$，這樣即可求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0$，從而有$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{DE}$，這便得出DE∥平面ACC₁A₁．

解答 解：（1）如圖，取BC中點(diǎn)F，連接DF，EF，則：
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow+\overrightarrow{c}$；
（2）$\overrightarrow{m}$是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{c}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{m}•（\frac{1}{2}\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$=0；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{DE}$；
又DE?平面ACC₁A₁；
∴DE∥平面ACC₁A₁．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、數(shù)乘的幾何意義，三角形中位線的性質(zhì)，相等向量的概念，以及平面法向量的概念，向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．