Question

6．已知點(diǎn)M（1，2）為拋物線y=2x²上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線AB的斜率為定值；
（2）若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)不大于零，求△MAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線MA、MB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率為定值；
（2）求出直線MA的斜率、直線MB的斜率，可得直線AB的斜率，求得直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得△MAB的面積，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求△MAB面積的最大值．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可知MA的斜率存在且不為0，設(shè)MA：y-2=k（x-1），即y=kx-k+2，
代入拋物線的方程得：2x²=kx-k+2，即2x²-kx+k-2=0，
則：x₁+1=$\frac{k}{2}$，故：x₁=$\frac{k}{2}-1$，
設(shè)MB：y-2=-k（x-1），即y=-kx+k+2，
代入拋物線的方程得：2x²=-kx+k+2，即2x²+kx-k-2=0，
則：x₂+1=-$\frac{k}{2}$，故x₂=-$\frac{k}{2}-1$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}=-\frac{k}{2}-1-\frac{k}{2}+1=-k$，
y₂-y₁=-kx₂+k+2-kx₁+k-2=-k（x₁+x₂）+2k=-k（-2）+2k=4k
直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{4k}{-k}=-4$．
∴直線BC的斜率為定值；
（2）解：設(shè)A（${x}_{1}，2{{x}_{1}}^{2}$），B（${x}_{2}，2{{x}_{2}}^{2}$）．
直線MA的斜率k₁=$\frac{2{{x}_{1}}^{2}-2}{{x}_{1}-1}=2（{x}_{1}+1）$，同理直線MB的斜率k₂=2（x₂+1）．
由題設(shè)有2x₁+2+2x₂+2=0，整理得x₁+x₂=-2．
直線AB的斜率k=$\frac{2{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=2（{x}_{2}+{x}_{1}）=-4$．
設(shè)直線AB的方程為y=-4x+b．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+b}\\{y=2{x}^{2}}\end{array}\right.$，得2x²+4x-b=0．
由△=16+8b＞0，得b＞-2，
又A、B的橫坐標(biāo)不大于零，
∴$-\frac{2}≥0$，b≤0，則-2＜b≤0．
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4+2b}$，
于是|AB|=$\sqrt{17}•\sqrt{4+2b}$．
點(diǎn)M到直線AB的距離d=$\frac{|6-b|}{\sqrt{17}}$，則△MAB的面積
S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}•\sqrt{17}•\sqrt{4+2b}•\frac{|6-b|}{\sqrt{17}}$=$\frac{|6-b|\sqrt{4+2b}}{2}=\frac{（6-b）\sqrt{4+2b}}{2}$．
令t=$\sqrt{4+2b}$∈（0，2]，b=$\frac{{t}^{2}-4}{2}$，6-b=6-$\frac{{t}^{2}-4}{2}=\frac{16-{t}^{2}}{2}$，
∴${S}_{△MAB}=\frac{\frac{16-{t}^{2}}{2}×t}{2}=\frac{（16-{t}^{2}）t}{4}$，t∈（0，2]，令f（t）=$\frac{（16-{t}^{2}）t}{4}$，
求導(dǎo)可得f′（t）＞0在t∈（0，2]上恒成立，
∴f（t）在t∈（0，2]上單調(diào)遞增，則最大值為f（2）=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．