Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$-sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱中心；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，若直線y=ax+b是函數(shù)f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得最小正周期，解2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得對(duì)稱中心；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）的范圍，由切線斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$-sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，
故對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0）k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴切線y=ax+b的斜率a的取值范圍為[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性以及導(dǎo)數(shù)和切線的關(guān)系，屬中檔題．