Question

14．已知函數(shù)f（x）=axe^-x+（a-1）lnx，其中a是常數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且f（x）在x=1處的切線l方程為ey=1．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）設(shè)F（x）=xe^-x，x∈R，如果x₁≠x₂，且F（x₁）=F（x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）由f（x）與直線相切可以確定出a，在分析導(dǎo)函數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間和最值．
（2）大體分析出x₁x₂的范圍，再利用函數(shù)關(guān)系式，即可證明不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=axe^-x+（a-1）lnx
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$+$\frac{a-1}{x}$
∵$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
f′（x）＞0時，0＜x＜1，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，1），遞減區(qū)間是（1，+∞），
f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$，無最小值．
（2）F′（x）=（1-x）e^-x，
∴當(dāng)x₁，x₂都在（-∞，1）或（1，+∞）時，由于F（x）都是單調(diào)函數(shù)，
∴F（x₁）=F（x₂）矛盾，
∴x₁，x₂一個在（-∞，1）內(nèi)，一個在（1，+∞）內(nèi)，
不妨設(shè)x₁＞1，x₂＜1，
則知x₁＞1時，F(xiàn)（x₁）＞F（2-x₁），
∵F（x₁）=F（x₂），
∴F（x₂）＞F（2-x₁），
∵x₁＞1，∴2-x₁＜1，
∴2-x₁，x₂∈（-∞，1），
∵F（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，
∴2-x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞2．

點評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷極值的求法，考查分析問題解決問題的能力．