Question

15．已知命題p：x∈R，f（x）=x²-2x+3＞m恒成立；命題q：g（x）=log_（5m-2）x在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，當p，q有且僅有一個是真命題時，求m的范圍．

Answer 1

分析 求出關于命題p，q為真時的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：關于命題p：x∈R，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2＞m恒成立，
若P為真，則m＜2；
關于命題q：g（x）=log_（5m-2）x在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，
5m-2＞1，解得：m＞$\frac{3}{5}$，
若q為真，則m＞$\frac{3}{5}$，；
（ⅰ）P為真且q為假，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{m≤\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解得：m≤$\frac{3}{5}$；
（ⅱ）P為假且q為真，
則$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m＞\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解得：m≥2，
綜合得m的范圍是$（{-∞，\frac{3}{5}}]∪[{2，+∞}）$．

點評 本題考查二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查充分必要條件，是一道中檔題．