Question

10．如圖，某景區(qū)有一座高AD為1千米的山，山頂A處可供游客觀賞日出．坡角∠ACD=30°，在山腳有一條長為10千米的小路BC，且BC與CD垂直，為方便游客，該景區(qū)擬在小路BC上找一點M，建造兩條直線型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造價為30萬元，公路MA每千米的造價為60萬元．
（1）設(shè)∠AMC=θ，求出造價y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當BM長為多少米時，才能使造價y最低？

Answer 1

分析 （1）容易求得MA=2，可說明△AMC為Rt△，從而可以得出$MA=\frac{2}{sinθ}，BM=10-\frac{2}{tanθ}$，這樣根據(jù)題意即可求出$y=\frac{60（2-cosθ）}{sinθ}+300$，$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$；
（2）可求導數(shù)得到$y′=\frac{60（1-2cosθ）}{si{n}^{2}θ}$，可以判斷導數(shù)符號，從而可以得出$θ=\frac{π}{3}$時y取到最小值，可求出此時BM的長度．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；
∴AC=2；
BC⊥CD，BC⊥AD；
∴BC⊥平面ACD，AC?平面ACD；
∴BC⊥AC；
∴$AM=\frac{AC}{sinθ}=\frac{2}{sinθ}，MC=\frac{AC}{tanθ}=\frac{2}{tanθ}$，$BM=10-\frac{2}{tanθ}$；
∴$y=30（10-\frac{2}{tanθ}）+60•\frac{2}{sinθ}$=$\frac{60（2-cosθ）}{sinθ}+300$，（$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$）；
（2）$y′=\frac{60[si{n}^{2}θ-cosθ（2-cosθ）]}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{60（1-2cosθ）}{si{n}^{2}θ}$；
令y′=0得，cosθ=$\frac{1}{2}$；
∵$α≤θ≤\frac{π}{2}，tanα=\frac{1}{5}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
∴$α≤θ＜\frac{π}{3}$時，$cosθ＞\frac{1}{2}$，1-2cosθ＜0，y′＜0，$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$時，y′＞0；
∴$θ=\frac{π}{3}$時，y有最小值，此時$BM=10-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當BM長為$10-\frac{2\sqrt{3}}{3}$米時，才能使造價y最低．

點評 考查三角函數(shù)的定義，線面垂直的判定定理，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系的方法，以及根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)最值的方法，注意正確求導．