Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與直線x=m（m＞a）交于M點(diǎn)，若直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a=2，b=1，即可得到所求橢圓方程；
（Ⅱ）由F（$\sqrt{3}$，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，和直線的斜率公式，計(jì)算化簡即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
可得c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由F（$\sqrt{3}$，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得
（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)M（m，k（m-$\sqrt{3}$）），
由直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，可得
2•$\frac{k（m-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{y}_{1}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=$\frac{k（{x}_{1}-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{k（{x}_{2}-\sqrt{3}）-\frac{1}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$
即為2k-$\frac{1}{m-\sqrt{3}}$=2k-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2\sqrt{3}}{{x}_{1}{x}_{2}+3-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韋達(dá)定理，可得$\frac{1}{m-\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
解得m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，和直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．