Question

20．一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求三棱錐C-PAB的體積．
（3）若F為側(cè)棱PA上一點(diǎn)，且$\frac{PF}{FA}$=λ，則λ為何值時(shí)，PA⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，連接OE，由三角形的中位線定理可得，OE∥PB，再由線面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEC；
（2）連接OP，則OP⊥平面ABCD，由V_C-PAB=V_P-ABC，利用等體積法能求出三棱錐C-PAB的體積．
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出λ=3時(shí)，PA⊥平面BDF．

解答 解：（1）由已知中俯視圖可知該幾何體為底面ABCD為菱形，且有一個(gè)角為60°，邊長(zhǎng)為2，
由正視圖和側(cè)視圖可得：幾何體為高度為PO=3的四棱錐，
設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，連接OE，
∵E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，∴OE為△DPB的中位線，∴OE∥PB，
又由OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC．
（2）連接OP，則OP⊥平面ABCD
由OP=3，底面ABCD為菱形，且有一個(gè)角為60°，邊長(zhǎng)為2，
則OD=1，AC=2$\sqrt{3}$，PB=PD=$\sqrt{10}$，PA=PC=2$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}AC×OB$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐C-PAB的體積：
V_C-PAB=V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×OP$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3=\sqrt{3}$．
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，3），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），
設(shè)F（0，b，c），∵$\frac{PF}{FA}$=λ，∴$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{FA}$，
∴$（0，b，c-3）=λ（0，-\sqrt{3}-b，-c）$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\sqrt{3}λ-bλ}\\{c-3=-cλ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{\sqrt{3}λ}{λ+1}}\\{c=\frac{3}{1+λ}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}λ}{λ+1}$，$\frac{3}{1+λ}$），$\overrightarrow{DF}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}λ}{λ+1}$，$\frac{3}{1+λ}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，-$\sqrt{3}$，-3），
∵PA⊥平面BDF，∴（-$\frac{\sqrt{3}λ}{λ+1}$）（-$\sqrt{3}$）+$\frac{3}{1+λ}×（-3）$=0，
解得λ=3．
∴λ=3時(shí)，PA⊥平面BDF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐體積的求法，直線與平面垂直的判定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．