Question

13．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點，F(xiàn)為CD₁中點．
（1）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）求直線EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DD₁中點M，連接MA，MF，證明EF∥AM，然后證明EF∥平面ADD₁A₁．
（2）說明∠AMD與直線EF和平面CDD₁C₁所成角相等，在Rt△AMD中，解三角形求解直線EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）證明：取DD₁中點M，連接MA，MF，有$MF\underline{\underline∥}AE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}DC$，
所以AEFM是平行四邊形，
所以EF∥AM，又AM?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
所以EF∥平面ADD₁A₁，得證．
（2）因為EF∥AM，AD⊥平面CDD₁C₁，所以∠AMD與直線EF和平面CDD₁C₁所成角相等，
又在Rt△AMD中，有$sin∠AMD=\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以直線EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面所成角，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．