Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{6}$）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．過點(diǎn)P的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)．
（1）若在直角坐標(biāo)系下直線1的傾斜角為α，求直線1的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（2）求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{6}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標(biāo)．利用點(diǎn)斜式即可得出直線l的參數(shù)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：t²+$（\sqrt{3}cosα+sinα-4cosα）$t+1-2$\sqrt{3}$=0．利用|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{6}$）化為：直角坐標(biāo)$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$．
∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{1}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程可得：t²+$（\sqrt{3}cosα+sinα-4cosα）$t+1-2$\sqrt{3}$=0．
∴t₁t₂=1-2$\sqrt{3}$．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=2$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．