Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），變形S_n+1+1=2（S_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．再利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴S_n+1=2ⁿ，∴S_n=2ⁿ-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2^n-1．
（2）S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．