Question

如圖，已知點(diǎn)E是圓心為O₁半徑為2的半圓弧上從點(diǎn)B數(shù)起的第一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是圓心為O₂半徑為1的半圓弧的中點(diǎn)，AB、CD分別是兩個(gè)半圓的直徑，O₁O₂=2，直線O₁O₂與兩個(gè)半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面．
（1）求三棱錐D-ABE的體積；
（2）求直線DE與平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直線AF與BE所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用S_△ABE=2S△BO1E即可得出△ABE的面積，由于直線O₁O₂與兩個(gè)半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面，可得三棱錐D-ABE的高等于O₁O₂=2，于是V_D-ABE=

1

3

S△ABE•O1O2．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，-1，2），E(-

3

，1，0)，

DE

=(-

3

，2，-2)．取平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（0，0，1），
設(shè)線DE與平面ABE所成的角為θ，利用sinθ=|cos＜

DE

，

n

＞|=

| DE • n |

| DE | | n |

即可得出．
（3）以點(diǎn)O₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，

O1B

，

O2F

，

O1O2

分別為x、y、z軸的正向 建立空間直角坐標(biāo)系，則A（-2，0，0），B（2，0，0），E(1，

3

，0)，F(xiàn)（0，1，2），
于是

AF

=（2，1，2），

BE

=(-1，

3

，0)，設(shè)直線AF與BE所成角為θ，從而cosθ=|cos＜

AF

，

BE

＞|=

| AF • BE |

| AF | | BE |

即可得出．

解答： 解：（1）∵∠BO1E=60°，O₁E=2，
∴S_△ABE=2S△BO1E=2×

3

4

×22=2

3

，
∵直線O₁O₂與兩個(gè)半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面，
∴三棱錐D-ABE的高等于O₁O₂=2，
于是，V_D-ABE=

1

3

S△ABE•O1O2=

1

3

×2

3

×2=

4 3

3

．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，D（0，-1，2），E(-

3

，1，0)，

DE

=(-

3

，2，-2)．
平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（0，0，1），
設(shè)線DE與平面ABE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

DE

，

n

＞|=

| DE • n |

| DE | | n |

=

2

11

=

2 11

11

．
∴cosθ=

7

11

=

77

11

，從而tanθ=

2 7

7

．
（3）以點(diǎn)O₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，

O1B

，

O2F

，

O1O2

分別為x、y、z軸的正向 
建立空間直角坐標(biāo)系，則A（-2，0，0），B（2，0，0），E(1，

3

，0)，F(xiàn)（0，1，2），
于是

AF

=（2，1，2），

BE

=(-1，

3

，0)，
設(shè)直線AF與BE所成角為θ，從而cosθ=|cos＜

AF

，

BE

＞|=

| AF • BE |

| AF | | BE |

=

|-2+ 3 |

9 • 4

=

2- 3

6

．
∴直線AF與BE所成角的余弦值為

2- 3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三棱錐的體積、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的夾角分別求出線面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．