Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²-8n．
（1）求數(shù)列{|a_n|}的通項公式；
（2）若H_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求H_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系先求出數(shù)列{a_n}的通項公式即可，
（2）討論n的取值范圍，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵S_n=n²-8n，
∴n=1時，a₁=1-8=-7；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-8n-[（n-1）²-8（n-1）]=2n-9
∴{a_n}的通項公式是a_n=2n-9．
則|a_n|=|2n-9|=$\left\{\begin{array}{l}{9-2n，}&{1≤n≤4}\\{2n-9，}&{n≥5}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)n≤4時，H_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-…-a_n=-S_n=-n²+8n，
當(dāng)n＞4時，H_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-a₃-a₄+a₅+…+a_n=S_n-2S₄=n²-8n-2×（16-32）=n²-8n+32，
即H_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+8n，}&{1≤n≤4}\\{{n}^{2}-8n+32，}&{n＞4}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．注意要對n進行分類討論．