Question

9．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)Q，AC平分∠DAB，AP為梯形ABCD外接圓的切線(xiàn)，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．
（1）求證：PQ²=PD•PB；
（2）若AB=4，AP=3，AD=$\frac{3}{2}$，求AQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知可證∠PAD=∠ABD，進(jìn)而可證PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割線(xiàn)定理即可得證．
（2）先求△PAD∽△PBA，從而可得PB，由切割線(xiàn)定理可求PD，進(jìn)而可求AQ=DQ=PA-PD的值．

解答 （本題滿(mǎn)分為10分）
解：（1）∵PA為圓的切線(xiàn)，∴∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠CAD…2分
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABD，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ，…4分
∵PA為圓的切線(xiàn)，∴PA²=PD•PB，∴PQ²=PD•PB…5分
（2）∵△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PB}{AB}$，∴PB=$\frac{12}{\frac{3}{2}}$=8，…7分
∵PA²=PD•PB，∴PD=$\frac{9}{8}$，…8分
∴AQ=DQ=PA-PD=3-$\frac{9}{8}$=$\frac{15}{8}$．…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．