Question

在邊長為5的菱形ABCD中，AC=8，現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為

9

25

．
（1）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（2）若M是AB的中點(diǎn)，求三棱錐A-MCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AO⊥平面BCD，由此能證明平面ABD⊥平面CBD．    
（Ⅱ）分別以O(shè)A，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建系，利用向量法能求出三棱錐A-MCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：菱形ABCD中，記AC，BD交點(diǎn)為O，AD=5，∴OA=4，OD=3，
翻折后變成三棱椎A(chǔ)-BCD，在△ACD中，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC
=25+25-2×5×5×

9

25

，
在△AOC中，OA²+OC²=32=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．    
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD兩兩互相垂直，分別以O(shè)A，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建系，
則A （0，0，4），B（0，-3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，-

3

2

，2），

MC

=（4，

3

2

，-2），

AC

=（4，0，-4），

DC

=（4，-3，0），
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），
則由

n • AC =0 n • DC =0

，得

4x-4z=0 4x-3y=0

，
令y=4，得

n

=（3，4，3），
∵

MA

=（0，

3

2

，2），∴A到平面ACD的距離d=

| MA • n |

| n |

=

|0+6+6|

34

=

6 34

17

．
∵在邊長為5的菱形ABCD中，AC=8，
∴S_△ACD=

1

2

×2

25-16

×4=12，
∴三棱錐A-MCD的體積V=

1

3

×S△ACD×d=

1

3

×12×

6 34

17

=

24 34

17

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．