Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1），a₁=1且對于任意n≥2，n∈N₊有a_n=2a_n-1+1．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過已知條件，利用等比數(shù)列的定義，直接求出a_n+1=2（a_n-1+1），即可求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）利用（1）直接求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，然后求出{b_n}的通項公式b_n，可得c_n=a_n•b_n的通項公式，利用分組求和法和錯位相減法，可得答案．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．   （6分）
解：（2）∵（2）由（1）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
c_n=a_n•b_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
令T′=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，…①，
2T′=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-T'=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹T'=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（10分）
故T″=1+2+3+…+n=

(1+n)n

2

…（11分）
T=T′-T″=2+(n-1)•2n+1-

n(1+n)

2

．…（12分）

點評：本題是綜合題，考查數(shù)列的基本性質(zhì)，等比數(shù)列的證明，通項公式的求法，數(shù)列求和，考查計算能力，注意解題方法的應(yīng)用．